القانون العام والمميز لحل المعادلات التربيعية
يُعتبر القانون العام والمميز أداة هامة لحل المعادلات التربيعية، وهي المعادلات الرياضية التي تتميز بأنها من الدرجة الثانية. ومن هنا، تشير الصيغة التربيعية إلى أن حلول هذه المعادلات يمكن تمثيلها بالرمز س:
القانون العام
يتم استخدام القانون العام للعثور على حلول المعادلة، أو جذورها، أو قيمة س، وذلك من خلال العبارة التربيعية التالية:
أ س² + ب س + جـ = 0
حيث يمكن التعبير عن س بالشكل التالي:
س = [ – ب ± ( ب² – 4 أ جـ ) √ ] / 2 أ
الحيثيات تشمل:
- س: جذر أو جذور المعادلة
- أ: معامل س²
- ب: معامل س
- جـ: الحد المطلق
المميز
يُستخدم المميز (بالإنجليزية: discriminant) لتحديد عدد الحلول المحتملة للعبارة التربيعية كما يلي:
نقوم بحساب قيمة المميز عن طريق
المميز = ( ب² – 4 أ جـ )
حيث تعبر الرموز عن:
- أ: معامل س²
- ب: معامل س
- جـ: الحد المطلق
بعد حساب المميز، نقوم بتطبيق ما يلي:
- إذا كان المميز > 0، فهذا يعني أن المعادلة تمتلك جذرين، ويمكن حساب قيمتي س باستخدام القانون العام.
- إذا كان المميز = 0، فهذا يعني أن المعادلة تحتوي على جذر واحد، ويمكن إيجاد قيمة س باستخدام القانون العام.
فوائد استخدام القانون العام والمميز في حل المعادلات التربيعية
تتمتع طريقة استخدام القانون العام والمميز بميزة سهولة التطبيق المباشر، حيث يمكنكم تعويض قيم معامل س² ومعامل س والحد المطلق ضمن الصيغة. علاوة على ذلك، فإن هذه الطريقة قادرة على معالجة جميع أنواع المعادلات التربيعية، بغض النظر عن تفاصيلها أو أشكال حدودها.
أمثلة توضيحية على استخدام القانون العام والمميز لحل المعادلات التربيعية
إليكم مثالاً على استخدام القانون العام لحل المعادلة التالية:
4 س² – 24 س + 35 = 0
الحل:
- يتم استخدام المميز للتأكد من عدد جذور المعادلة، إذا وجدت.
- ( ب² – 4 أ جـ ) = ( 24² – 4 × 4 × 35 ) = ( 576 – 560 ) = 16 > 0، وبالتالي فإن المعادلة تمتلك جذرين، ويمكننا حساب قيمتي س باستخدام القانون العام.
- لحل المعادلة بواسطة القانون العام:
- س = [ – ب ± ( ب² – 4 أ جـ ) √ ] / 2 أ
- س = [ – -24 ± ( – 24² – 4 × 4 × 35 ) ] / 2 × 4
- س = [ 24 ± 4 ] / 8
- س = [ 24 + 4 ] / 8 ، [ 24 – 4 ] / 8
- س = 28 / 8 ، 20 / 8
- س = 14 / 4 ، 10 / 4
- س = 7 / 2 ، 5 / 2
