الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء
في هذا المقال، سنقوم بالتحقيق في مفهوم الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء.
- الضرب الداخلي يُعَدّ من العمليات الأساسية التي تُستخدم في علم الرياضيات، وتُنفذ على المتجهات.
- سوف نتناول في هذا المقال ما يتعلق بالاتجاهات، حيث يُعتبر الضرب الداخلي عنصرًا أساسيًا في العديد من التطبيقات ومعالم المعرفة.
- إنه يشكّل القاعدة التي يمكن من خلالها حساب (طول المتجه، الزاوية بين متجهين، وبعض القيم الفيزيائية).
العملية الحسابية للضرب الداخلي تُشبه عملية ضرب المتجهات معًا، حيث يُمكن من خلالها استخراج العديد من المعلومات التي تُستخدم في مجالات مثل:
- حساب الشغل.
- حساب الفيض المغناطيسي.
- تحديد القدرة.
للمزيد من المعلومات، اقرأ من هنا:
الاختلاف بين الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي
- يتم تطبيق الضرب الداخلي على المتجهات غالبًا، ويتعلق بشكل أساسي بالعلاقة بين متجهين.
- هناك خصائص تميز الضرب الداخلي عن الضرب التقليدي.
- يمتلك الضرب الداخلي تسميات أخرى، مثل (الضرب الاتجاهي).
- يُعتبر الضرب الداخلي بمثابة عملية ضرب أي متجهين معًا.
- كما يُعرف أيضًا باسم (الضرب التقاطعي أو الجداء المتجهي).
- يُنتج عن هذه العملية متجه يُعتبر عموديًا على المستوى الذي ينتمي إليه المتجهان.
- بخلاف الضرب القياسي، تكون نتيجة الضرب الداخلي متجهًا، وليس عددًا قياسيًا.
- المتجهات ليست مجرد أرقام عادية، بل تمتلك خصائص تجعلها فريدة من نوعها.
- لذا، هناك تمييز واضح بين ضرب المتجهات وضرب الأرقام.
ملاحظات حول المتجهات
لإجراء عملية الضرب الداخلي بشكل صحيح، ينبغي أن نكون على دراية ببعض الملاحظات الأساسية المتعلقة بالمتجهات، والتي تُعرض فيما يلي:
- المتجه: يُعرف المتجه بأنه مجموعة من الأرقام تُعرض في هيئة رأسية وأفقية، وكل متجه قد يُمثل أي عدد من الاتجاهات، وغالبًا ما يُعتبر له ثلاثة اتجاهات.
- المتجهات المتساوية: يُعتبر المتجهان متساويين إذا كان لكل منهما نفس المقدار.
- متجه الوحدة: هو المتجه الذي يُعبر عن طوله بوحدة واحدة.
- المتجه ذو القيمة الصفرية: يكون المتجه صفرًا إذا كانت جميع أبعاده وقيمه (0,0,0).
- المتجهات السالبة: هي تلك المتجهات التي تمتلك قيم متطابقة ولكنها تعكس اتجاهاتها.
- المتجهات المتوازية: هي متجهات تسير بنفس الاتجاه، بالرغم من إمكانية وجود اختلاف أو تطابق في المقدار.
- المتجهات المشتركة في المستوى: تشير إلى المتجهات التي تقع في نفس المستوى أو تكون متوازية في ذلك المستوى.
معلومات حول الضرب الداخلي
- يتم الضرب الداخلي في المستوى الإحداثي بين متجهين، حيث يُعرف بأنه نتيجة ضرب أحد المتجهات على المتجه الآخر وفقًا للمقياس الموجود عند المتجه الثاني.
- (فضاء الضرب الداخلي الحقيقي): هو المصطلح الذي يُستخدم للإشارة إلى فضاء المتجهات الحقيقي عند استخدام الضرب الداخلي.
خصائص الضرب الداخلي
تتواجد العديد من الخصائص الجبرية الخاصة بالعمليات الضرب العادية ويُمكن تطبيقها على عمليات الضرب الداخلي. هذه الخصائص تشمل:
- خاصية الإبدال.
- خاصية التوزيع.
- خاصية الضرب في عدد حقيقي.
كما توجد خصائص أخرى تنطبق فقط على الضرب الداخلي، ومنها:
- خاصية الضرب الداخلي، تتضح عندما يتم ضرب متجه في متجه آخر مقدارُه صفر.
- أيضًا يتميز الضرب الداخلي بوجود علاقة ترتبط بين طول المتجه والنتيجة الناتجة عن الضرب الداخلي.
- يمكن صياغة المتجه في شكل توافق خطي مع المتجهات القياسية للوحدة.
- كما يمكن كتابة المتجه في شكل توافق خطي مع المتجه القياسي للوحدة.
- يمكن أيضًا عرضه على شكل مجموعة، حيث يتم ضرب المتجه القياسي للوحدة في اتجاه كل جزء في المركبة.
- هناك العديد من الافتراضات التي وضعها العلماء حول الكميات في صورة توافق خطي.
ولا تفوت قراءة مقالنا حول:
تعريف دراسة الضرب الداخلي
- تُعتبر دراسة الضرب الداخلي وفهمه من أهم الموضوعات الموجودة في مناهج التعليم الثانوي والإعدادي.
- كما ذكرنا، سيتم تناول هذه العملية المهمة عند دراستنا للمتجهات.
- بعد التطرق إلى الاتجاهات وخصائصها، سنقوم بالتعمق في العمليات المتعلقة بها، وأحد أبرز هذه العمليات هي “الضرب الداخلي”.
- تتمتع عملية الضرب الداخلي بالعديد من التطبيقات التي يمكن أن تُحقق من خلالها.
- من خلال الضرب الداخلي، يُمكننا التعرف على: (طول متجه، الزاوية بين متجهين، إيجاد مسقط المتجه في اتجاه المتجه الآخر).
مفهوم الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي
- يعبر الضرب الداخلي عن مجموع حاصل ضرب المركبات في الاتجاه الرأسي، بالإضافة إلى حاصل ضرب المركبات في الاتجاه الأفقي.
- هذا هو المفهوم العام لـ “الضرب الداخلي في المستوى الإحداثي”.
- كما يمثل مسقط أحد المتجهات على المتجه الآخر، أو أحد المتجهات في نفس معيار المتجه الآخر.
المتجهات المتعامدة
- هناك العديد من التطبيقات المرتبطة بعملية الضرب الداخلي، وأحد هذه التطبيقات هو تحديد ما إذا كانت المتجهات متعامدة أم لا.
- إذا كانت نتيجة الضرب الداخلي للمتجهين تساوي الصفر، فإن المتجهين يُعتبران متعامدين.
- في حين أن المتجهين يكونان غير متعامدين عندما تكون نتيجة عملية الضرب الداخلي بينهما مختلفة عن الصفر.
تطبيق الزاوية بين المتجهين
يمكن حساب الزاوية الموجودة بين المتجهين من خلال تطبيق عملية الضرب الداخلي.
في هذا السياق، يمكننا حساب الزاوية من خلال تطبيق الضرب الداخلي وحساب معيار كل متجه، وتحديد أن الناتج يعادل قيمة الكوساين.
باستخدام قوانين حساب المثلثات، يمكننا استنتاج قيمة الزاوية التي نرغب في معرفتها، بناءً على قياس الزاوية كما ذكرنا سابقًا.
تطبيقات فيزيائية للضرب الداخلي
- إلى جانب دور الضرب الداخلي في التطبيقات الرياضية، توجد العديد من التطبيقات الفيزيائية المهمة له.
- كما تبرز العديد من التطبيقات الهندسية التي تُستخدم لتحقيق أهداف معينة من خلالها.
- يُعتبر (الشغل) من أبرز هذه التطبيقات، حيث يتم حسابه عن طريق الضرب الداخلي بين (متجه القوة والإزاحة).
- أيضًا، هناك استخدام آخر للضرب الداخلي في حساب (الفيض المغناطيسي)، حيث يُحسب من خلال الضرب الداخلي بين (المجال المغناطيسي ومساحة السطح).
تطبيق الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي
تُستخدم الزاوية بين المتجهات في فضاء الضرب الداخلي في العديد من الأوقات لتوضيح بعض العلاقات الأساسية التي تربط المتجهات في هذا الفضاء، مثل:
- العلاقات بين الفضاء الصفري وفضاء الأعمدة في أي مصفوفة.
- على سبيل المثال: عندما يكون لديك U كفضاء جزئي من فضاء الضرب الداخلي V، إذا كان هناك متجه v في V عمودي على U، فيجري اعتباره عموديًا على U إذا كان عموديًا على أي متجه في U.
- لذا، مجموع المتجهات في V العمودي على U يُفترض أن يكون منهم متممًا عموديًا للفضاء الجزئي في U.
